Question

已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在区间[ 1 2 ，4]上的最大值与最小值的差为3，求a的值

已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在区间[ 1 2 ，4]上的最大值与最小值的差为3，求a的值．

Answer 1

①当a＞1 时，f（x）=log a x 在（0，+∞）上为增函数， ∴在[12，4]上函数f（x）的最小值，最大值分别为： f(x ) min =f( 1 2 )=lo g a ( 1 2 ) f（x） max =f（4）=log a 4， ∴ lo g a 4-lo g a ( 1 2 )=3 ， 即log a 4+log a 2=log a 8=3， 而log 2 8=3， ∴a=2；  ②当0＜a＜1 时，f（x）=log a x 在（0，+∞）上为减函数， ∴在[12，4]上函数f（x） 的最小值、最大值分别为 f（x） min =f（4）=log a 4， f(x ) max =f( 1 2 )=lo g a ( 1 2 ) ， ∴ lo g a ( 1 2 )-lo g a 4=3 ， 即 lo g a ( 1 2 )+lo g a ( 1 4 )=lo g a ( 1 8 )=3 ， 而 lo g 1 2 ( 1 8 )=3 ∴ a= 1 2 ； 综上所述a=2 或 a= 1 2 ．