Question

如图，在直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b与x轴交于点A（3，0），与y轴的正半轴交 于点B，tan∠OAB=

如图，在直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b与x轴交于点A（3，0），与y轴的正半轴交 于点B，tan∠OAB= 3 ．（1）求这直线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转60°后，点B落到点C的位置，求以点C为顶点且经过点A的抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线与x轴的另一个交点为点D，与y轴的交点为E．试判断△ODE是否与△OAB相似？如果认为相似，请加以证明；如果认为不相似，也请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=kx+b与x轴交于点A（3，0）， ∴OA=3． ∵tan∠OAB= 3 ， 即 OB OA = 3 ， ∴OB=3 3 ， ∴点B的坐标为（0，3 3 ）， 又∵直线y=kx+b经过点A（3，0）、B（0，3 3 ）， 代入求出直线的解析式为y=- 3 x+3 3 ， 答：直线的解析式为y=- 3 x+3 3 ． （2）由题意，可得点C的坐标为（6，3 3 ）， 设抛物线的解析式是y=a（x-6） 2 +3 3 ， 把A的坐标代入求出a=- 3 3 ， ∴所求抛物线的解析式为y=- 3 3 （x-6） 2 +3 3 ， 答：所求抛物线的解析式为y=- 3 3 （x-6） 2 +3 3 ． （3）答：相似． 证明：由（2），抛物线y=- 3 3 （x-6） 2 +3 3 与x轴的另一个交点为点D（9，0），与y轴的交点为 E（0，-9 3 ）． ∴OD=9，OE=9 3 ， 在△ODE与△OAB中， ∵∠DOE=∠AOB=90°， 且OD：OA=OE：OB， ∴△ODE ∽ △OAB．