Question

设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点．（1）设椭圆C上的点A（1，32）到F1、F2两点

设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点．（1）设椭圆C上的点A（1，32）到F1、F2两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和离心率；（2）设PQ是（1）中所得椭圆过左焦点的动弦，求弦PQ中点M到右准线近距离的取值范围．

Answer 1

（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率e=

1

2

；
（2）设M（x，y），P（ x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂ ），直线PQ方程为 y=k（x+1），右准线方程为x=4
由

y＝k(x+1) x2 4 + y2 3 ＝ 1

消y得：（3+4k²）x²+8k² x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

?8k2

3+4k2

，因为M是AB中点，有 x=

x1+x2

2

，
∴x=

?4k2

3+4k2

∴弦PQ中点M到右准线距离为4-

?4k2

3+4k2

∈[4，5）
当直线PQ的斜率k不存在时，PQ⊥x轴，AB中点M 的坐标为（-1，0），M到右准线距离为5，
∴弦PQ中点M到右准线近距离的取值范围为[4，5]．