Question

若当x∈（0， 1 2 ）时，不等式x 2 +x＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是______

若当x∈（0， 1 2 ）时，不等式x 2 +x＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

构造函数f（x）=x 2 +x，g（x）=-log a x．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜ 1 2 ） 易知，在区间（0， 1 2 ）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0， 1 2 ）上是递增函数． 由题设可知，函数h（x）在区间（0， 1 2 ）上恒有h（x）＜0．∴必有h（ 1 2 ）≤0． 即有（ 1 4 ）+（ 1 2 ）-log a （ 1 2 ）≤0． 整理就是（ 3 4 ）≤ ln 1 2 lna ，∴ 实数a的取值范围是  3 4 4 ≤a＜1 ．