Question

已知函数 f(x)= 3 sinωx+cos(ωx+ π 3 )+cos(ωx- π 3 )-1(ω＞0，x∈

已知函数 f(x)= 3 sinωx+cos(ωx+ π 3 )+cos(ωx- π 3 )-1(ω＞0，x∈R) ，且函数f（x）的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）昀图象向右平移 π 6 个单位，得到函数了y=g（x）的图象，求函数 y=g(x)在[0， π 2 ] 上的值域．

Answer 1

（Ⅰ）∵ f(x)= 3 sinωx+cos(ωx+ π 3 )+cos(ωx- π 3 )-1 = 3 sinωx+ 1 2 cosωx- 3 2 sinωx+ 1 2 cosωx+ 3 2 sinωx-1 =2sin（ωx+ π 6 ）-1， ∴函数f（x）的最小正周期为 2π ω =π； ∴ω=2． ∴f（x）=2sin（2x+ π 6 ）-1． （Ⅱ）依题意，将函数f（x）昀图象向右平移 π 6 个单位， 得到函数g（x）=2sin（2x- π 3 + π 6 ）-1=2sin（2x- π 6 ）-1的图象， 函数g（x）的解析式g（x）=2sin（2x- π 6 ）-1． ∵0≤x≤ π 2 ，∴ - π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 ，∴-2≤2sin（2x- π 6 ）-1≤1 函数 y=g(x)在[0， π 2 ] 上的值域为[-2，1]．