Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长；（3）若3DE=DC，4DE=BC，AD=5，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠EDB，
∴∠EDA=∠ODA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠CDB=60°，
∴∠EDA=∠ADB=

1

2

（180°-60°）=60°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAD=30°，
∵DE=1cm，
∴AD=2DE=2cm，
∵∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4cm，
答：BD的长是4cm．

（3）解：设DE=a，则CD=3a，BC=4a，
由勾股定理得：BD=5a，
∵∠AED=∠BAD=90°，∠EAD=∠ABD，
∴△EAD∽△ABD，
∴

DE

AD

=

AD

BD

，
即

a

5

=

5

5a

，
解得：a=

5

，
BD=5a=5

5

．
答：BD的长是5

5

．