Question

对于函数f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，如果函数f(x)＝x2ax?b（a，b∈N

对于函数f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，如果函数f(x)＝x2ax?b（a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，且b＜3．（1）求函数f（x）的解析式并写出函数f（x）的定义域；（2）已知各项不为零的数列{an}满足：4Sn?f(1an)＝1，且Sn=a1+a2+…+an，Tn＝1S1+1S2+1S3+…+1Sn，求Tn．

Answer 1

（1）设

x2

ax?b

＝x得：（a-1）x²-bx=0，
∵函数f(x)＝

x2

ax?b

（a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，
∴由根与系数的关系，得：

2+0＝ b a?1 2×0＝0

，
∴b=2a-2．
∵b＜3，
∴2a-2＜3，a＜

5

2

，
∵a∈N，b∈N，
∴a=2，b=2．
∴f(x)＝

x2

2x?2

，
定义域是{x|2x-2≠0}，解得{x|x≠1}．
（2）由题设，知 4Sn?

( 1 an )2

2( 1 an ?1)

＝1，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；
且a_n≠1，以n-1代n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
由①-②得：2a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，以n=1代入①得：2a₁=a₁-a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=-1；由a₁=-1，若a_n=-a_n-1得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴a_n=-n；
∴S_n=（-1）+（-2）+（-3）+…+（-n）=-

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

＝?(

1

n

?

1

n+1

)＝

1

n+1

 ?

1

n

，
∴Tn＝

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（

1

2

?1）+（

1

3

?

1

2

）+（

1

4

?

1

3

）+…+（

1

n+1

?

1

n

）
=

1

n+1

?1
=-

n

n+1

．