Question

若等差数列{an}中，a1=3，a4=12，{bn-an}为等比数列，且数列{bn}满足b1=4，b4=20．（1）求数列{an}和{bn}

若等差数列{an}中，a1=3，a4=12，{bn-an}为等比数列，且数列{bn}满足b1=4，b4=20．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₄=12，∴12=3+3d，解得d=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n．
∵{b_n-a_n}为等比数列，设公比为q，
又数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20．
∴b4?a4＝(b1?a1)q3，即（20-12）=（4-3）q³，解得q=2．
∴bn?an＝2n?1，
∴b_n=3n+2^n-1．
（2）由（1）可得数列{b_n}的前n项和=3（1+2+…+n）+1+2+2²+…+2^n-1
=

3n(n+1)

2

+

2n?1

2?1

=

3n(n+1)

2

+2ⁿ-1．

Answer 2

a1+3d=12,d=3,an=3n
b1-a1=1,b4-a4=8,q^3=8,q=2.
bn-an=1*2^(n-1),bn=3n+2^(n-1)