Question

求偏导数微分法 第三大题

Answer 1

用隐函数微分法
令F[x,y,z] = z³-3xyz-a³
z'x = -F'x/F'z = yz/(z²-xy)
z'y = -F'y/F'z = xz/(z²-xy)
(z也是y的函数,刚才我当成常数扔了- -!)
z''xy = [z'x]'y = [(yz)'(z² - xy) - yz * (2z z'y - x)]/(z²-xy)²
= [(z + y z'y)(z²-xy) - 2yz² z'y + xyz]/(z²-xy)²
= (z³ - yz² z'y - xy² z'y)/(z²-xy)²
= [z³ - (yz²+xy²)xz/(z²-xy)]/(z²-xy)²
= z(z^4 - 2xyz³ - x²y²z)/(z²-xy)³

追问

你好！ 题目看错了吧 是x的3次方 你的答案也和书上的答案不一致

追答

哦？我看看

追问

好的 麻烦了

追答

题目确实是不一样，不过计算方法应该是类似的，帖一个写的完整的供你参考，思路是一致的。
设z³-3xyz=a³,求∂²z/∂x∂y.
作函数F(x,y,z)=z³-3xyz-a³=0,则：
∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=(3yz)/(3z²-3xy).(1)
∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=(3xz)/(3z²-3xy).(2)
将(1)再对y取导数得：
∂²z/∂x∂y={(3z²-3xy)[3z+3y(∂z/∂y)]-(3yz)[6z(∂z/∂y)-3x]}/(3z²-3xy)²【将(2)代入得】
={(3z²-3xy)[3z+(9xyz)/(3z²-3xy)]-(3yz)[(18xz²)/(3z²-3xy)-3x]}/(3z²-3xy)²
=[3z+(9xyz)/(3z²-3xy)]/(3z²-3xy)-(3yz)(9xz²+9x²y)/(3z²-3xy)³
=[(9z³)/(3z²-3xy)²]-[(27xyz)(z²+xy)/(3z²-3xy)³]

追问

我知道二阶导数的求法 但这个题我觉得答案不对 能帮我算一遍吗