Question

高数证明

设函数f(x)在[0,1]上有二阶可微且f(0)与f(1)的一阶导数都为0，证明存在c在（0,1）内满足f（c）的二阶导数大于等于f（1）-f（0）的绝对值

Answer 1

取泰勒n=1
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(1/2)f''(x0)(x-x0)^2
令x0=1,0 取c=1/2且c=(x1+x2)/2
x1∈(0,1/2) x2∈(1/2,1)
f(c)=f(1)+(1/2)f''(x1)h^2
f(c)=f(0)+(1/2)f''(x2)h^2
得f(1)-f(0)=[f''(x2)h^2-f''(x1)h^2]/2
│f(1)-f(0)│=(1/2)│f''(x2)-f''(x1)│h^2≤(1/2)[│f''(x2)│+│f''(x1)│]h^2
若c=x1=x2 则│f''(x2)│=│f''(x1)│
上式=│f''(c)│h^2
h^2=(1/2)^2=1/4
≤│f''(c)│