Question

已知ab∈R且a≠0求证|a²-b²|/2|a|≥|a|/2-|b|/2

Answer 1

原题是:已知a、b∈R且a≠0.求证|a²-b²|/(2|a|)≥|a|/2-|b|/2

若|a|=|b|
|a²-b²|/(2|a|)=|a|/2-|b|/2=0,结论成立。
若|a|≠|b|(下面用分析法证明)
|a²-b²|/(2|a|)≥|a|/2-|b|/2 成立
只需 |a²-b²|/|a|≥|(|a|-|b|)| 成立
即 (|a|+|b|)|(|a|-|b|)|/|a|≥|(|a|-|b|)| 成立
只需 (|a|+|b|)/|a|≥1 成立 (因此时|(|a|-|b|)|>0)
只需 |a|+|b|≥|a| 成立
只需|b|≥0 成立
因b∈R时,|b|≥0 成立
得|a|≠|b|时 |a²-b²|/(2|a|)≥|a|/2-|b|/2
所以 |a²-b²|/(2|a|)≥|a|/2-|b|/2

希望能帮到你！