Question

洛必达法则解决带有定积分的极限

如上图，使用了洛必达法则，洛必达法则求导，而定积分本身就是导数，那为什么上题会出现要乘以定积分上限的导数2/3x(-1/3)的情况?，导数不是只要将上限代入定积分就是了吗？还有，如果定积分的下限不是0又会怎样？静候数学高手指教。

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Answer 1

这个叫复合函数求导，复合函数求导要对每一层都求导

给你举个例子，比如上图的左侧的积分，你可以想一下这个积分的导数怎么求。

这个积分应该等于右面的式子，右面的式子中t是等于x平方的，这就是一个复合的函数，复合函数求导就要对函数的每一层都求导。

追问

不错，复合函数这一点倒是提醒了我，但如果积分下限不是0，那图中题目还是不是那样做？会不会影响极限？

Answer 2

①“定积分本身就是导数”这句话不对。
②解释“为什么会出现乘以上限的导数”：
遵循的公式是
【如果F(x)=∫〔a到g(x)〕f(t)dt，则F ' (x)=f(x)*g ' (x)】
所以，当上限是x的函数g(x)的情况下，
要按照复合函数的求导方法做，
导数不是只将上限代入就行了，
还要乘以上限g(x)的导数。
③如果该积分的下限不是0，
就不能确定该积分趋于0，
从而不能确定该极限是属于1^∞型。

追问

对于③如果该积分的下限不是0，我觉得应该是不能确定分母是0吧。但你的回答很好，都启发了我，谢谢