计算下列对坐标的曲线积分.5.2..高等数学
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函数 P=(x+y)/(x^2+y^2), Q= (y-x)/(x^2+y^2)
在原点 O(0,0) 不连续，不能用格林公式。为此
作半径为 ε (0<ε<a) 的小圆 C1: x^2+y^2 = ε^2, 取顺时针，则
原曲线积分 I = ∫<C+C1> - ∫<C1>, 前者用格林公式，得
I= ∫∫<D>(Q'<x>-P'<y>)dxdy + ∫<-C1>[(x+y)dx-(x-y)dy]/ε^2
= 0 + (1/ε^2)∫<-C1>(x+y)dx-(x-y)dy
= (1/ε^2)∫∫<D1>(-2)dxdy
= (1/ε^2)(-2πε^2) = -2π
在原点 O(0,0) 不连续，不能用格林公式。为此
作半径为 ε (0<ε<a) 的小圆 C1: x^2+y^2 = ε^2, 取顺时针，则
原曲线积分 I = ∫<C+C1> - ∫<C1>, 前者用格林公式，得
I= ∫∫<D>(Q'<x>-P'<y>)dxdy + ∫<-C1>[(x+y)dx-(x-y)dy]/ε^2
= 0 + (1/ε^2)∫<-C1>(x+y)dx-(x-y)dy
= (1/ε^2)∫∫<D1>(-2)dxdy
= (1/ε^2)(-2πε^2) = -2π
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