Question

高等数学 全微分 这个函数为什么在（0，0）连续呢

Answer 1

由x²+y²≤2xy得
0≤|xy/√(x²+y²)|≤[(x²+y²)/2]/√(x²+y²)=½ √(x²+y²)
当(x,y)→(0,0)时，½ √(x²+y²)→0
由夹逼准则得
当(x,y)→(0,0)时，xy/√(x²+y²)→0
由f(0,0)=0
故lim[(x,y)→(0,0)]xy/√(x²+y²)=f(0,0)
故f(x,y)在(0,0)处连续。

追问

白纸上两个算出的结果确实为0，只不过只验算了两个方向对吧

追答

(x,y)→(0,0)是指（x，y）沿任何方向都趋于（0,0）
而你只是验证了沿直线y=x和y=-x两个方向，当然不行了。