Question

三角形几何问题？

三角形ABC是直角三角形，角A=90度，D为BC的中点，E.F分别在AB,AC上，且DE垂直于DF,若BE=9,CF=12,求EF的长。

Answer 1

答案：EF=15

解证：如图：延长FD至H, 使DH=FD ,连HB

         因为，D为BC的中点

     所以，CD=DB 

        所以，CFBH为平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）

     所以，HB=CF=12,  HB‖CA  

        所以 ∠A+∠EBH=180°

        又因为∠A=90°

    所以，∠EBH=90°

   在Rt△EBH中，由勾股定理：EH²=BE²+HB²=9²+12²=225

         所以 EH=15

   又因为，ED⊥DF  即，ED⊥FH  且 FD=DH

   所以，ED是线段FH的中垂线

   所以，EF=EH=15  

             《证毕》！

Answer 2

在直角三角形ABC中因为D是BC中点且DE垂直AB，推出DE是中位线，AC=24，同理DF垂直AC，DF是中卫线。接下来就小问题了吧。

Answer 3

题有问题，应该为“三角形ABC是【等腰】直角三角形，角A=90度，D为BC的中点，E.F分别在AB,AC上，且DE垂直于DF,若BE=9,CF=12,求EF的长。”否则，可能无法证明。
解：连结AD，在等腰Rt△ABC中，D为BC的中点
∴AD=CD=DB=（1/2）CB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠ DAE=1/2∠ CAB=45°=∠ DCF
∵AD⊥BC于D(等腰三角形三线合一）
∴∠ CDF+∠ FDA=90°，∠ ADE+∠ FDA=90°
∴∠ CDF=∠ ADE
∴△DCF≌△DAE（ASA)
∴AE=CF=12
∴AB=AE+EB=21
又∵在等腰Rt△ABC中，AC=AB=21
∴AF=AC-FC=9
在等腰Rt△AFE中，AF=9，AE=12
即：EF=√（AF²+AE²）=√（9²+12²）=15

Answer 4

EF=15