Question

如图,在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,角A=60度,CD是角平分线,在CB上截取CF=CA

如图,在Rt三角形ABC中,角BCA=90度,角A=60度,CD是角平分线,在CB上截取CF=CA.
（1）求证:DF=BF;
（2）若AE=BF,求角CFE的度数.

Answer 1

（1）：因为Rt△ABC中，∠ACB=90，所以∠B=90°-∠A=30°；
因为CD平分∠BCA,所以∠ACD=∠FCD=45°；加上CF=CA,CD=CD,所以△ACD≌△FCD;
所以∠DFC=∠A=60°=∠B+∠BDF;所以∠BDF=60°-∠B=30°=∠B,所以DF=BF。
（2）：因为△ACD≌△FCD，所以AD=DF=BF=AE,因为∠A=60°，所以△ADE是等边三角形;
所以DE=DF，∠ADE=60°;因为∠BDF=30°,所以∠EDF=90°；
所以∠DFE=∠DEF=45°;所以∠CFE=∠DFC-∠DFE=15°。