Question

当-1≤x≤2时，求函数y=f(x)=2x²-4ax+a²+2a+2的最小值，并求最小值为1时，a的所有可能的值

Answer 1

f(x)=2x^2-4ax+a^2+2a+2
=2(x-a)^2-a^2+2a+2
对称轴：x=a
当对称轴在[-1,2]内，即-1=<a<=2时
最小值：f(x)min=-a^2+2a+2 （-1=<a<=2）
若最小值为1
则-a^2+2a+2=1
a^2-2a=1
(a-1)^2=2
a=1±√2
当对称轴在[-1,2]的左侧，即a<-1时
最小值：f(x)min=f(-1)
=2(-1)^2-4a(-1)+a^2+2a+2
=a^2+6a+4
若最小值为1
则a^2+6a+4=1
(a+3)^2=-3+9
a=-3±√6
当对称轴在[-1,2]的右侧，即a>2时
最小值：f(x)min=f(2)
=2×2^2-4a×2+a^2+2a+2
=a^2-6a+10
若最小值为1
则a^2-6a+10=1
a^2-6a+9=0
(a-3)^2=0
a=3
综上，最小值为1时，a的所有可能值如下：
a=1±√2或者a=-3±√6或者a=3