Question

设A是由符合以下性质的函数f(x)组成的集合:对任意的x≥0,f(x)∈(1,4],且f(x)在[

设A是由符合以下性质的函数f(x)组成的集合:对任意的x≥0,f(x)∈(1,4],且f(x)在[0，+∞)上为减函数
(1)判断f1(x)=2-√x,f2(x)=1+3×(1/2)^x(x≥0)是否属于集合A?并说明理由
(2)将(1)中你认为是集合A的一个函数记为P(x),若不等式P(x)+P(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立，求实数k的取值范围

Answer 1

(1)当x>1时，f1(x)<1，不符题意，∴f1(x)不属于集合A。
f(x)=(1/2)^x在[0，+∞)上为减函数，且f(x)∈(0,1]
∴f2(x)=1+3(1/2)^x在[0，+∞)上为减函数，且f2(x)∈(1，4]
∴f2(x)属于集合A。
(2)∵P(x)在[0，+∞)上为减函数
∴当x=0时P(x)+P(x+2)有最大值
P(0)+P(0+2)=4+7/4=23/4
∴当k≥23/4时，不等式恒成立

Answer 2

（1）∵f1(49) =2-sqr49 =-5不属于 (1,4]
∴f1(x) 不在集合A中
又∵x≥0,∴0＜(1/2)^x ≤1
∴0＜3•(1/2)^2 ≤3 从而1＜1+3•(1/2)^x ≤4