Question

高数 求f（x）

Answer 1

（1）x=0，f(0)=2;
(2)x=2,f(2)=lim(n-》+∞)（2.2^n)^(1/n)=2lim(n-》+∞)2^(1/n)=2;
=lim(n-》-∞)（2.2^n)^(1/n)=2lim(n-》-∞)2^(1/n)=2lim(-n-》+∞)1/2^(-1/n)=2;
(3)x=-2,f(-2)=lim(n-》+∞)（2^n+(-2)^n)^(1/n),n是奇数,f（-2）=0，n是偶数，f(-2)=f(2)=2,无意义.(n-》-∞)同理。
（4）x<-2,|x|>2,n是奇数，f(x)=lim(n-》+∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)
=xlim(n-》+∞)（(2/x)^n+1)^(1/n)=x;
n是偶数：f（x）=lim(n-》+∞)（2^n+(-x)^n)^(1/n)=（-x）lim(n-》+∞)（(-2/x)^n+1)^(1/n)=-x。无意义；
（5）-2<x<0,n是奇数，f(x)=lim(n-》+∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=2lim(n-》+∞)（1+(x/2)^n)^(1/n)=2;
n是偶数：f(x)=lim(n-》+∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=2lim(n-》+∞)（1+(x/2)^n)^(1/n)=2;
n是奇数，f(x)=lim(n-》-∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=xlim(n-》-∞)（(2/x)^n+1)^(1/n)=x;
x是偶数，f(x)=lim(n-》-∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=（-x）lim(n-》-∞)（(-2/x)^n+1)^(1/n)=-x;
无意义。
（6）0<x<2,f(x)=lim(n-》+∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=2lim(n-》+∞)（1+(x/2)^n)^(1/n)=2;
f(x)=lim(n-》-∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=xlim(n-》-∞)（(2/x)^n+1)^(1/n)=x
无意义。
(7)x>2,f(x)=lim(n-》+∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=xlim(n-》+∞)（(2/x)^n+1)^(1/n)=x;
f(x)=lim(n-》-∞)（2^n+(x)^n)^(1/n)=2lim(n-》+∞)（1+(x/2)^n)^(1/n)=2;
无意义。
总结：

x0>-2,n->+∞,有意义：
-2<x≤2,f(x)=2;
x>2,f(x)=x;

Answer 2

当 |x| < 2 时，f(x) = lim<n→∞>2[1+(x/2)^n]^(1/n) = 2
当 x > 2 时，f(x) = lim<n→∞>x[(2/x)^n+1]^(1/n) = x
当 x < -2 时，f(x) = lim<n→∞>±x[(2/x)^n+1]^(1/n) = ±x
(n 为奇数取正号， n 为偶数数取负号）
当 x = 2 时，f(x) = lim<n→∞>2 · 2^(1/n) = 2
当 x = -2 时，若 n 为偶数，f(x) = lim<n→∞>2 · 2^(1/n) = 2
当 x = -2 时，若 n 为奇数，f(x) = 0

Answer 3

|x|<2时
f(x)趋于{2^n*[1+(x/2)^n]}^(1/n)
趋于2；
x>=2时f(x)趋于{x^n*[(2/x)^n+1]}^(1/n)
趋于x,
x<=-2时f(x)不存在。

Answer 4

f(x)= lim(n->∞ ) (2^n +x^n)^(1/n)
consider
L = lim(y->∞ ) (2^y +x^y)^(1/y)
lnL
=lim(y->∞ ) ln(2^y +x^y)/y (∞/∞ 分子分母分别求导)
=lim(y->∞ ) [ (ln2).2^y + (lnx). x^y ]/(2^y +x^y)
case 1: x<0
f(x)= lim(n->∞ ) (2^n +x^n)^(1/n) 没有定义
case 2: x=0
f(x)= lim(n->∞ ) (2^n +x^n)^(1/n) = 2
case 3: 0<x<2
lnL
=lim(y->∞ ) [ (ln2).2^y + (lnx). x^y ]/(2^y +x^y)

分子分母分别除以 2^y
=lim(y->∞ ) [ (ln2) + (lnx). (x/2)^y ]/(1 +(x/2)^y)
=ln2
=> L =2
f(x)= lim(n->∞ ) (2^n +x^n)^(1/n) =2
case 3: x=2
f(2)= lim(n->∞ ) (2^n +2^n)^(1/n) =2
case 4: x>2
lnL
=lim(y->∞ ) [ (ln2).2^y + (lnx). x^y ]/(2^y +x^y)

分子分母分别除以 x^y
=lim(y->∞ ) [ (ln2)(2/x)^y + (lnx) ]/( (2/x)^y +1)
=lnx
=> L =x
f(x)= lim(n->∞ ) (2^n +x^n)^(1/n) =x
ie
f(x)
=2 ; 0≤x≤2
=x ; x >2