Question

急需帮助，高一数学。为什么fx不恒等于0就要舍去f0等于0的情况? 该怎么理解呢

Answer 1

如果f（0）=0，那么对于式子f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）我们设定x是任意数，y=0
那么式子化为f（x+0）+f（x-0）=2f（x）f（0）
即2f（x）=0
f（x）=0
设定中，x是任意数，所以这时候f（x）恒等于0.与题目要求的f（x）不恒等于0矛盾
所以f（0）≠0

Answer 2

∵f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，f(π/2)=0，f(x)不恒等于0；
∴当x=0，y=0时, 有 f(0)+f(0)=2f(0)=2f²(0)；即有f²(0)-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0；
∴f(0)=0或f(0）=1;
令x=π/2，y=π/2；则有f(π)+f(0)=2f²(π/2)=0; ∴f(π)=-f(0)=0或-1；
再令x=π，y=π；则有f(2π)+f(0)=2f²(π)=0或2；
∴f(2π)=-f(0)=0或-1；或f(2π)=2-f(0)=2或1；
即f(2π)=-1或0或1或2.