Question

已知Sn为数列an的前n项和，且2an=Sn+n

（1）若bn=an+1，证明数列bn是等比数列。（2）求数列Sn的前n项和Tn

Answer 1

(1)Sn=2an-n
S[n-1]=Sn-an=an-n=2a[n-1]-(n-1)
an=2a[n-1]+1
bn=an+1=2a[n-1]+2
b[n-1]=a[n-1]+1
bn2b[n-1]所以是等比数列
(2)Sn=2an-n
Tn=S1+.....Sn=(2a1-1)+(2a2-2)+...(2an-n)=2(a1+...an)-(1+2+....n)
=2Sn-n(n+1)/2 =2(2an-n)-n(n+1)/2=4an-2n-n(n+1)/2

Answer 2

(1) Sn=2an-n
Sn-1=2a(n-1)-n+1
两式相减
an=2a(n-1)+1
用加t构造法
(an+t)=2{a(n-1)+t}
得 t=1
所以{an+1}成等比，首项2，公比2
bn=an+1
所以数列bn是等比数列
(2)an=2^(n-1)-1
Sn=2^(n-1)-(n+1)
Tn=2^(n-1)-1-{2n+n*(n-1)/2}=2^(n-1)-(n^2-n)/2-2n-1