Question

求解一道高数题，连续函数的性质？

Answer 1

应用介值定理.如果一个连续的函数f(x),[a,b]在这个函数的定义域内连续,并且f(a)与f(b)异号,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
设f(x)=asinx+b-x, f(x)在闭区间[0,a+b]上连续, f(0)=b＞0, f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)≤a+b-(a+b)=0
1) 当sin(a+b)=1时, f(a+b)=0, 方程有一个正根x=a+b符合要求;
2) sin(a+b)＜1时, f(a+b)＜0, 根据介值定理, 那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根；
综合以上两个条件可知,方程至少有一个正根且不超过a+b。

Answer 2

由于f(x)连续,在区间[a,b]内必有实数m和M使得m<=f(x)0有
m∫g(x)dx<=∫f(x)g(x)dx<=M∫g(x)dx
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Answer 3

构造函数 F(x) = x - (asinx+b)，

有 F(0) = - b < 0，F(a+b) = a[1-sin(a+b)] ≥ 0，
因此存在 ξ 属于（0，a+b ] 使 F(ξ) = 0，
即 。。。。。。