Question

证明不等式函数问题的方法

Answer 1

构造函数法证明不等式的八种方法
1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】
已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有
1
1x1
ln(x1)x
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
g(x)ln(x1)
1x1
1，从其导数入手即可证明。
xx1
【解】f(x)
1x1
1
∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为增函数 当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,) 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)m
f(0)0，因此，当x1时，
ax
， f(x)f(0)0，即ln(x1)x0∴ln(x1)x （右面得证）
1x1
现证左面，令g(x)ln(x1)1， 则g(x)
1x1

1(x1)
2

x(x1)
2
当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0 ， 即g(x)在x(1,0)上为减函数，在x(0,)上为增函数， 故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0， ∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)∴ln(x1)1
1
1x11
10
x1x1
【警示启迪】如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大（小）值，则有f(x)f(a)（或f(x)f(a)），
，综上可知，当x1时,有1ln(x1)x
那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)
12
xlnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)
2
23
x的
3
图象的下方；

追问

对于正弦函数和其它基本函数用什么方法？

追答

采纳先，谢谢！

诱导公式

sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β
sin2α=2sin αcos α
sin（α+2kπ）=sin α
sin(-α）=-sin α
sin（π-α）=sin α
sin（π/2-α）=cos α
sin α=cos（π/2-α）
sin（π+α）=-sin α
sin（3π/2-α）=-cos α
sin（3π/2+α）=-cos α
导数公式
若f(x)=sinx，则f^（x）=cosx
若f（x）=Asin（ωx+φ）+C，则f^（x）=Aωcos（ωx+φ）

追问

忘了，不好意思啊

不是这，例：0＜X＜兀／2，兀x／2＜sinx之类的不等式

Answer 2

非题