Question

已知函数f(x)=x+(1/x),

（1)判断它的奇偶性，并指出它的图像具有怎样的对称性; (2)求证:函数f(x)在(0,+∞）上是增函数。

Answer 1

Sol1.f(x)定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称。

f(-x)=-x+1/(-x)=-x-(1/x)=-f(x)

故f(x)是奇函数，它的图像关于原点对称。

2.题目打错了吧，从图像上可以看出f(x)的递增区间应该是(1,+∞)而不是(0,+∞)！

在(1,+∞)上任取0＜a＜b，则

要证f(x)在(1,+∞)上递增，只需证明f(a)-f(b)＜0

f(a)-f(b)=a+1/a-(b+1/b)=(a²+1)/a-(b²+1)/b=(a²b+b-ab²-a)/ab=[ab(a-b)+(b-a)]/ab=(a-b)(ab-1)/ab

因为a＜b，所以分子中(a-b)＜0。又因为a和b都＞0所以ab＞0且ab-1＞0.

故f(a)-f(b)＜0，所以f(x)在(0,+∞)上递增。