Question

高一数学对数

已知f(x)=x²-x+k，若log2 f(a)=2且f(log2 a)=k(a＞0且a≠1) [以2为底的]
(1) 确定k的值
(2) 求f(x)分之[f(x)]²+9的最小值及对应的x的值

Answer 1

（1）log2 f(a)=log2 (a*a-a+k)=2 (一)
f(log2 a)=(log2 a)*(log2 a)-(log2 a)+k=k (二)
由（一）得 log2 ? =2 相当于问 2的2次方等于多少 所以 ?=4=a*a-a+k=4 （三）
由（二）得 log2 a * ( log2 a -1) =0 因为：a>0 且 a≠1 所以 log2 a≠0 所以log2 a -1 =0
由此得出 a=2 （四）
将a=2 带入（三） 得 4-2+k=4 所以 k=2
（2）由第一问知 f(x)=x²-x+2 则 [f(x)]²+9=（x²-x+2）*（x²-x+2）+9
｛[f(x)]²+9｝/ f(x)={（x²-x+2）*（x²-x+2）+9｝/ (x²-x+2) }
可写成 （x²-x+2）+ 9 / (x²-x+2)
因为 x²-x+2 最小值（ x=1/2 时 ）为 2/3 所以 x²-x+2 > 2/3 >0
所以 （x²-x+2）+ 9 / (x²-x+2) ≥ 根号下｛（x²-x+2）* [ 9 / (x²-x+2) ] ｝= √9 =3 （注 因为a+b >或= 根号下 a*b）
f(x)分之[f(x)]²+9 的最小值为3 当且仅当 （x²-x+2）= 9 / (x²-x+2) 时取得最小值
即 (x²-x+2)*(x²-x+2)=9 x²-x+2=3
x²-x-1=0 接出x= （1±√5）/2

Answer 2

先是f(log2 a)=k
得出（log2 a）²-log2 a+k=k
所以log2 a=（log2 a）²
因为a≠1
所以a=2
再带到log2 f(a)=2里面，得出log2 f(2)=2
所以k=2

第二问：当f(x)=f(x)分之9时，f(x)分之[f(x)]²+9的最小。（看看双勾函数的性质）
接下就知道了