Question

在三角形ABC中，已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC . (1) 求角A

在三角形ABC中，已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC .
(1) 求角A的大小；
(2) 若sinB+sinC=1，试判断三角形的形状。

Answer 1

解答:
(1) 把已知等式中角的正弦换成边，得2a方=(2b+c)b+(2c+b)c，整理得a方=b方+c方+bc。所以cosA=(b方+c方-a方)/2bc=-bc/2bc=-1/2，所以A=120°。
(2) 由(1)中的 a方=b方+c方+bc得 sinA方=sinB方+sinC方+sinBsinC，又A=120°，所以得方程组 sinB方+sinC方+sinBsinC=3/4和sinB+sinC=1。
解得 sinB=1/2，即B=30°，故C=30°。
所以三角形是等腰的钝角三角形。

Answer 2

根据题目由正弦定理得：
sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
代入化简得：
a^2=b^2+c^2+bc
所以cosA=-1/2
所以A＝120
由(1)中的 a方=b方+c方+bc
得 到sinA方=sinB方+sinC方+sinBsinC，又因为A=120°，
所以得方程组 sinB方+sinC方+sinBsinC=3/4和sinB+sinC=1。
解得 sinB=1/2，即B=30°，故C=30°。
所以三角形是等腰的钝角三角形。

Answer 3