Question

求方程y²dx (x²–xy)dy=0的通解

Answer 1

y²dx +(x²–xy)dy=0,
设y=xz,则dy=zdx+xdz,上式变为 z^2dx+(1-z)(zdx+xdz)=0,
整理得zdx+x(1-z)dz=0,
分离变量得(z-1)dz/z=dx/x
积分得 z-lnz=lnx+lnc,
即(1/z)e^z=cx,把z=y/x代入得
(x/y)e^(y/x)=cx,
即e^(y/x)=cy,为所求。

Answer 2

解:∵微分方程为y²dx+(x²-xy)dy=0，化为 dx/dy=(xy-x²)/y² ∴设x=uy，有 u+ydu/dy=u-u²，ydu/dy=-u²， -du/u²=dy/y，1/u=ln|y|+ln|c|(c为任意非零常数) ∴方程的通解为e^(y/x)=cy
∵微分方程为y²dx-(x²-xy)dy=0，化为 dx/dy=(x²-xy)/y² ∴设x=uy，有
u+ydu/dy=u²-u，ydu/dy=u²-2u， du/u(u-2)=dy/y，du/(u-2)-du/u=2dy/y ln|(u-2)/u|=lny²+ln|c|(c为任意常数) ∴有(u-2)/u=cy²，u=2(1-cy²)
∴方程的通解为x=2y(1-cy²)