Question

已知函数f（x）=2sin（wx+a-π/6）（0＜a＜π，w＞0）为偶函数，且函数y=f（x）的图像的两相邻对称轴间的

且函数y=f（x）的图像的两相邻对称轴间的距离为π/2。（1）求f（π/8）的值。
2）将函数y=f（x）的图像向右平移π/6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间

Answer 1

因为两相邻对称轴间的距离为π/2，w＞0,所以f(x)的周期为2*π/2 = π，有T = 2π/w, 所以w = 2。
又f(x)是偶函数，所以a-π/6 = π/4 + πk/2 (k 为N)，所以 a = 5π/12
f(π/8) = 2sin(2*π/8+π/4) = 2

图像向右平移π/6个单位后f1(x) = 2sin(2x + π/4 - π/6) = 2sin(2x + π/12)

图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，表示周期变为原来的4倍，所以f2(x) = 2sin(2/4x + π/12) = 2sin(1/2x + π/12)
即g(x)= 2sin(1/2x + π/12)
减区间 π/2+kπ < 1/2x + π/12 <3π/2 +kπ (k 为N)，
解得： 5π/6+2kπ < x + π < 17π/6 +2kπ (k 为N)

Answer 2

f(x)=√[(√3)²+1²]*sin(wx+q-z)
=2sin(wx+q-z)
tanz=1/√3
所以z=π/6
f(x)=2sin(wx+q-π/6)
sin的对称轴是取最值的地方，所以两相邻对称轴的距离是半个周期
所以T=π
所以T=2π/π=2
偶函数
f(-x)=2sin(-2x+q-π/6)=f(x)=2sin(2x+q-π/6)
所以-2x+q-π/6=2kπ+2x+q-π/6
或-2x+q-π/6=2kπ+π-(2x+q-π/6)

-2x+q-π/6=2kπ+2x+q-π/6
这个不是恒等式，舍去

-2x+q-π/6=2kπ+π-(2x+q-π/6)
2q=2kπ+4π/3
q=kπ+2π/3
所以q=2π/3

f(x)=2sin(2x+2π/3)
f(π/8)=2sin(π/4+2π/3)=2sinπ/4cos2π/3+2cosπ/4sin2π/3=(√6-√2)/4