Question

已知an各项均为正数的数列,其前n项和为sn且sn为an和1/an的等差中项

已知an各项均为正数的数列,其前n项和为sn且sn为an和1/an的等差中项

Answer 1

解：

Sn是an、1/an的等差中项，则

2Sn=an +1/an

n=1时，2a1=2S1=a1+ 1/a1

a1²=1

数列各项均为正数，a1>0

a1=1

n≥2时，2Sn·an=an²+1

2Sn[Sn-S(n-1)]=[Sn-S(n-1)]²+1

Sn²-S(n-1)²=1，为定值

S1²=a1²=1，数列{Sn²}是以1为首项，1为公差的等差数列。

Sn²=1+1·(n-1)=n

数列各项均为正，an>0，Sn>0

Sn=√n

an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)

n=1时，a1=√1-√0=1，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=√n-√(n-1)