Question

线性代数中如何说明两个方程组同解？

Answer 1

(1) 由第二个方程, A'X('表示转置)=0, b'X=0, 所以X必然是A'X=0的解，所以第二个方程的解必满足第一个方程；(2) 由r(A)=r(A,b), 设A的极大线性无关组是a1,a2,...,ar(r=r(A)), 则b一定能够由a1,a2,...,ar线性表出，否则a1,a2,...,ar,b就构成(A,b)的极大线性无关组, 即r(A,b)=r+1>r(A)矛盾。因为b能够由a1,a2,...,ar线性表出，故b'X=0这个方程可以吸收到A'X=0这个方程组里面，故而A'X=0的解也满足[A,b]'X=0的解。综合(1)(2), 两个方程是同解方程.