Question

棱长为a的正四面体的内外接圆半径，求详细过程

正四面体中心是外接圆圆心，也是内切圆圆心，还是正四面体的重心
这个可以证明吗

Answer 1

应该是外接球和内切球，不是圆。
设正四面体P-ABC，作PH⊥底面ABC，垂足H，作CD⊥AB，H在CD上，H是正三角形ABC的外（内、重、垂）心，
CH=2CD/3=(a√3/2)*(2/3)=√3a/3,
PH=√(PC^2-CH^2)=√6a/3,
设O点是外接球心，它在PH上，PO=AO=R，R为外接球半径，
（PH-PO)^2+CH^2=CO^2,
(√6a/3-R)^2+(√3a/3,)^2=R^2,
R=√6a/4,
内切球半径为r,r=OH=PH-OP=√6a/3-√6a/4=√6a/12.
由解外接球半径的过程可知，OP=OA=OB=OC，至四顶点距离相等，故是外接球心，
O点至四个平面距离相等，故是内切球心，
正四面体的重量可以集中在中心O点，可看作在O点质点的重量，故也是重心。

Answer 2

连接正四面体的各个三角形的中心，形成一个新的正四面体。容易证明，新正四面体的边长为a/3.
我想，按这个思路做下去，大概是比较简单的做法。
原来四面体的内切圆是新四面体的外接圆。
所以外接圆半径R是内切圆半径r的3倍。
R=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
R=3a/(2根号6)

Answer 3

可以的！