定积分，要详细步骤！
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解：1题，原式=3∫(cotx)^2dx=3∫[(cscx)^2-1]dx=-3(cotx+x)+C。
2题，原式=(1/3)∫ln(1+x)d(x^3)=(1/3)x^3-(1/3)∫x^3dx/(1+x)=(1/3)x^3ln(1+x)-(1/3)∫[(x^2-x+1-1/(1+x)]dx=(1/3)(x^3+1)ln(1+x)-(1/9)x^3+(1/6)x^2-x/3+C。
3题，分母有理化，被积函数变为1+2/x-(2/x)√(x+1)，∴原式=∫[1+2/x-(2/x)√(x+1)]dx=x+2ln丨x丨-2∫[√(x+1)]dx/x。对∫[√(x+1)]dx/x，设x=(tant)^2，可得出∫[√(x+1)]dx/x=2√(1+x)-ln{[√(x+1)+1]/[√(x+1)-1]}+C1。
∴原式=x+2ln丨x丨-4√(1+x)+2ln[√(x+1)+1]-2ln[√(x+1)-1]}+C。
4题，∵(tanx)^3=tanx[(secx)^2-1]，∴原式=∫tanxd(tanx)-∫tanxdx=(1/2)(tanx)^2+ln丨cosx丨+C。
5题，原式=∫dx/[1/x^2+1/(x^2+1)]=-1/x+arctanx+C。供参考。
2题，原式=(1/3)∫ln(1+x)d(x^3)=(1/3)x^3-(1/3)∫x^3dx/(1+x)=(1/3)x^3ln(1+x)-(1/3)∫[(x^2-x+1-1/(1+x)]dx=(1/3)(x^3+1)ln(1+x)-(1/9)x^3+(1/6)x^2-x/3+C。
3题，分母有理化，被积函数变为1+2/x-(2/x)√(x+1)，∴原式=∫[1+2/x-(2/x)√(x+1)]dx=x+2ln丨x丨-2∫[√(x+1)]dx/x。对∫[√(x+1)]dx/x，设x=(tant)^2，可得出∫[√(x+1)]dx/x=2√(1+x)-ln{[√(x+1)+1]/[√(x+1)-1]}+C1。
∴原式=x+2ln丨x丨-4√(1+x)+2ln[√(x+1)+1]-2ln[√(x+1)-1]}+C。
4题，∵(tanx)^3=tanx[(secx)^2-1]，∴原式=∫tanxd(tanx)-∫tanxdx=(1/2)(tanx)^2+ln丨cosx丨+C。
5题，原式=∫dx/[1/x^2+1/(x^2+1)]=-1/x+arctanx+C。供参考。
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