Question

一道高中抛物线数学题

过抛物线y2=2px(p>0)外一点A(-2,-4)做倾斜角为45度的直线l，交抛物线于B、C两点，若AB，BC，AC成等比数列，求抛物线方程。
如果求解过程中用到了因为AB，BC，AC成等比数列，所以A、B、C三点的横纵坐标也成等比数列请附证明过程或者贴出个网址也行。谢谢

Answer 1

求抛物线方程，只要确定p的值即可。本题之关键是如何深挖45°的作用。既然是45°，则三条线段在x轴上的射影也成等比数列。设B(x1，y1)、C(x2，y2)，则|x1＋2|、|x2－x1|、|x2＋2|也成等比数列，即x1＋2、|x2－x1|、x2＋2成等比数列，∴|x2－x1|^2=(x1＋2)×(x2＋2)这个式子展开后是关于x1＋x2和x1×x2的式子，而可以利用联立直线x－y－2=0和抛物线y^2=2px成方程组，用含有p的式子来代入的，这就可以求出p的值。完毕。

Answer 2

B(x1，y1)、C(x2，y2)，则|x1＋2|、|x2－x1|、|x2＋2|也成等比数列，即x1＋2、|x2－x1|、x2＋2成等比数列，∴|x2－x1|^2=(x1＋2)×(x2＋2)这个式子展开后是关于x1＋x2和x1×x2的式子，而可以利用联立直线x－y－2=0和抛物线y^2=2px成方程组，用含有p的式子来代入