Question

高中数学：解析几何的一道题目

已知圆C通过不同的三点P（m，0），Q（2，0），R（0，1），且CP的斜率为-1
（1）试求圆C的方程
（2）过远点O做两条互相垂直的直线l1,l2，分别交圆C于E,F,G,H四点，求四边形EGFH面积的最大值

第一问我算了一下，但是不知道对不对，我把点往里面都代了一下，感觉没问题
算出来m=2，圆C是（x-7/6）^2+(y-5/6)^2=25/18

希望大家帮忙看一下，尤其是第二问

Answer 1

先看第一个问题。楼主做错了，主要是判断情况时出现的错误。

首先P、Q、R三点都在圆上，故到圆心的距离都相等。不妨设圆心C为（a，b）.

则有：CM=CQ=CR  ==》 同时平方

          既是：（2-a）^2+b^2=a^2+(1-b)^2=(m-a)^2+b^2   一式

由此可得，4a-2b=3    二式

又因为cp直线的斜率为-1。有b/（m-a）=-1  所以有m=a+b   三式

把m=a+b带入一式。有（2-a）^2=b^2    有2-a=+b（要舍去。因为变形既是a+b=2。也就是m点为Q点。错误） 或者2-a=-b  四式

由二、四式有a=-0.5  b=-2.5

所以圆的方程为（x+0.5）^2+（y+2.5）^2=12.5

如下图：

问题二。

第二问有一定的技巧，这里不用设点，那样未知数太多，会比较麻烦。

观察图知。四边形的对角线互相垂直。故面积为对角线之积（用两个三角形的面积之和推导）。

设四边形的对角线长度分别m、n。则面积为mn/2。

技巧来了。用不等式mn小于等于（m^2+n^2）/2.m=n时。取等号。

故由该不等式知。当四边形的对角线相等时。有面积最大

也就是四边形为等腰梯形时面积最大。

下面的工作，就是算出对角巷的长度（当m=n时）。m=n=37开平方 （这个就麻烦你自己算了）

  故最大面积为mn=37 /2

Answer 2

...第一问错了 是不同的三点呀 PQ怎么能重合

Answer 3

第一个错了
是不同的三点呀
PQ怎么能重合

Answer 4

你求出的m的值是点P与点Q重合，有问题。下面是参考解答。
(1)的正确答案 m=-3 圆的方程为：（x+1/2）^2+(y+5/2)^2=25/2
具体解答：设圆的方程为（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
圆心C（a,b）在线段QR的中垂线y=2x-3/2上，也在PQ的中垂线x=(m+2)/2上
所以：b=2a-3/2
a=(m+2)/2
k(cp)=(b-0)/(a-m)=-1
解得m=-3，a=-1/2，b=-5/2
(2)四边形EFGH的面积S=1/2EG*FH
设圆心C到EG、FH的距离分别为d1，d2。d1^2+d2^2=OC^2=26/4=13/2
则EG=2SQR(r^2-d1^2) FH=2SQR(r^2-d2^2)
所以 S=2SQR[(r^2-d1^2)(r^2-d2^2)]<=(r^2-d1^2)+(r^2-d2^2)
而(r^2-d1^2)+(r^2-d2^2)=2r^2-(d1^2+d2^2)=2*25/2-13/2=37/2
所以当且仅当(r^2-d1^2)=(r^2-d2^2)时，S取最大值37/2。

以上仅供参考。