拉格朗日中值定理 满足条件的点怎么求

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清渐漠
2016-08-05 · TA获得超过2464个赞
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把首尾f(b)-f(a)/(b-a)算出来,

然后对f(x)求导,找到在a,b区间上和f(b)-f(a)/(b-a)的值即可

定理表述
如果函数

满足:
(1)在闭区间

上连续;
(2)在开区间

内可导;
那么在开区间

内至少有一点

使等式

成立。

其他形式


是闭区间

内一点

为区间内的另一点

,则定理在

或在区间

可表示为

此式称为有限增量公式。

数学推导
编辑

辅助函数法:
已知



上连续,在开区间

内可导,
构造辅助函数

代入



,可得

又因为



上连续,在开区间

内可导,
所以根据罗尔定理可得必有一点

使得

由此可得

变形得

定理证毕。

定理推广
编辑

推论
如果函数

在区间

上的导数

恒为零,那么函数在区间

上是一个常数。
证明:
在区间

上任取两点

由拉格朗日中值定理得

由于已知



因为

是区间

上的任意两点所以

在区间

上的函数值总是相等的,
即函数在区间内是一个常数。

推广
如果函数

在开区间

内可导且



都存在




则在开区间

内至少存在一点

使得
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