拉格朗日中值定理 满足条件的点怎么求
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把首尾f(b)-f(a)/(b-a)算出来,
然后对f(x)求导,找到在a,b区间上和f(b)-f(a)/(b-a)的值即可
定理表述
如果函数
满足:
(1)在闭区间
上连续;
(2)在开区间
内可导;
那么在开区间
内至少有一点
使等式
成立。
其他形式
设
是闭区间
内一点
为区间内的另一点
,则定理在
或在区间
可表示为
此式称为有限增量公式。
数学推导
编辑
辅助函数法:
已知
在
上连续,在开区间
内可导,
构造辅助函数
代入
,
,可得
又因为
在
上连续,在开区间
内可导,
所以根据罗尔定理可得必有一点
使得
由此可得
变形得
定理证毕。
定理推广
编辑
推论
如果函数
在区间
上的导数
恒为零,那么函数在区间
上是一个常数。
证明:
在区间
上任取两点
由拉格朗日中值定理得
由于已知
即
因为
是区间
上的任意两点所以
在区间
上的函数值总是相等的,
即函数在区间内是一个常数。
推广
如果函数
在开区间
内可导且
与
都存在
令
,
则在开区间
内至少存在一点
使得
然后对f(x)求导,找到在a,b区间上和f(b)-f(a)/(b-a)的值即可
定理表述
如果函数
满足:
(1)在闭区间
上连续;
(2)在开区间
内可导;
那么在开区间
内至少有一点
使等式
成立。
其他形式
设
是闭区间
内一点
为区间内的另一点
,则定理在
或在区间
可表示为
此式称为有限增量公式。
数学推导
编辑
辅助函数法:
已知
在
上连续,在开区间
内可导,
构造辅助函数
代入
,
,可得
又因为
在
上连续,在开区间
内可导,
所以根据罗尔定理可得必有一点
使得
由此可得
变形得
定理证毕。
定理推广
编辑
推论
如果函数
在区间
上的导数
恒为零,那么函数在区间
上是一个常数。
证明:
在区间
上任取两点
由拉格朗日中值定理得
由于已知
即
因为
是区间
上的任意两点所以
在区间
上的函数值总是相等的,
即函数在区间内是一个常数。
推广
如果函数
在开区间
内可导且
与
都存在
令
,
则在开区间
内至少存在一点
使得
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