Question

帕斯卡定理的定理定义

Answer 1

如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上。
证明
设ABCDEF是圆锥曲线刃的内接六边形，对边AB和DE交于X，对边BC和EF交于y，对边CD和AF交于z，则x、y、z在一条直线上。
第一步：利用射影变换，可以将命题从关于圆锥曲线力变为关于圆0的命题。
第二步：过圆0的圆心作圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，以S为顶点，圆D为底面作圆锥。注意到SXY确定一个平面，用与平面SXY平行的平面截圆锥，则构造成功一个以S为透射中心的中心射影，这个中心射影将圆O变为椭圆多，将直线XY变为无穷远直线。于是，命题转化为：设ABCDEF是椭圆的内接六边形，对边AB平行DE，对边BC平行EF，则CD平行AF。
第三步：利用透视中心为无穷远点的中心射影(仿射变换)将椭圆变为圆，而透视中心为无穷远点时，中心射影保持平行性，即证。 本定理可推广为：圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。
证明
引理1：两圆交于A、B，分别过A、B的直线交两圆于C、D,E、F,则CE//DF.

画图即证。
引理2：两三角形的对应边都平行，则对应点的连线共点。
证法1.利用相似三角形，采用同一法证明。
证法2.直接应用笛沙格定理。
正式证明：
考察下图即得。
评注：
帕斯卡定理的证法有很多。
还有，反演，射影变换，射影对应等证法。
此法是十分别致，而且十分的初等。