高中数列，求答案
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题目有两处抄错：
1、那个“且”是错的。是3ⁿ⁻¹·an
2、表示数列用大括号{an}，而不是中括号[an]。
解：
(1)
n=1时，a1=⅓
n≥2时，
a1+3a2+...+3ⁿ⁻¹·an=n/3 ①
a1+3a2+...+3ⁿ⁻²·a(n-1)=(n-1)/3 ②
①-②
3ⁿ⁻¹·an=⅓
an=⅓ⁿ
n=1时，a1=⅓，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=⅓ⁿ
(2)
bn=n/an=n/(⅓ⁿ)=n·3ⁿ
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1·3+2·3²+3·3³+...+n·3ⁿ
3Tn=1·3²+2·3³+...+(n-1)·3ⁿ+n·3ⁿ⁺¹
Tn-3Tn=-2Tn=3+3²+...+3ⁿ-n·3ⁿ⁺¹
=3·(3ⁿ-1)/(3-1) -n·3ⁿ⁺¹
=[(1-2n)·3ⁿ⁺¹-3]/2
Tn=[(2n-1)·3ⁿ⁺¹+3]/4
1、那个“且”是错的。是3ⁿ⁻¹·an
2、表示数列用大括号{an}，而不是中括号[an]。
解：
(1)
n=1时，a1=⅓
n≥2时，
a1+3a2+...+3ⁿ⁻¹·an=n/3 ①
a1+3a2+...+3ⁿ⁻²·a(n-1)=(n-1)/3 ②
①-②
3ⁿ⁻¹·an=⅓
an=⅓ⁿ
n=1时，a1=⅓，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=⅓ⁿ
(2)
bn=n/an=n/(⅓ⁿ)=n·3ⁿ
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1·3+2·3²+3·3³+...+n·3ⁿ
3Tn=1·3²+2·3³+...+(n-1)·3ⁿ+n·3ⁿ⁺¹
Tn-3Tn=-2Tn=3+3²+...+3ⁿ-n·3ⁿ⁺¹
=3·(3ⁿ-1)/(3-1) -n·3ⁿ⁺¹
=[(1-2n)·3ⁿ⁺¹-3]/2
Tn=[(2n-1)·3ⁿ⁺¹+3]/4
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