Question

数学高二的题。。。。求解啊

1.已知f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0)
证明方程f(x)=0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在X0∈R，使af(x0)<0

2.已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c
探究{an}是等差数列的充要条件

Answer 1

1.
a>0，则f(x0)<0
x→±∞时，f(x)>0,
所以必有x1<x0,且x2>x0, 使f(x1)>0, f(x2)>0,
因此在（x1,x0)内有一根，(x0, x2)内也有一根。

若a<0, 则f(x0)>0
x→±∞时，f(x)<0,
所以必有x1<x0,且x2>x0, 使f(x1)<0, f(x2)<0,
因此在（x1,x0)内有一根，(x0, x2)内也有一根。
(注: 连续函数一点大于0，一点小于0，中间必有一点等于0）

2.
{an}是等差数列的充要条件为
Sn为n的二次函数，且常数项=0。即：Sn=A*n^2+B*n
（这一点由Sn=n*a1+n(n-1)d/2 便知）
因此，令Sn=(n+1)^2+c=0
于是：n^2+2n+1+c=0
所以c= -1

Answer 2

1、必要性：
a>0，抛物线开口向上。结合图知：
存在x0=-b/2a,使得f(x0)<0
所以af(x0)<0
a<0，抛物线开口向下。结合图知：
存在x0=-b/2a,使得f(x0)>0
所以af(x0)<0
充分性证明结合图像易证。
2、当n>1时
an=Sn-S(n-1)=(n+1)^2-n^2=2n+1
当n>1时 a(n+1)-an=(2n+3)-(2n+1)=2
由题a1=S1=4+c
所以a2-a1=(2*2+1)-(4+c)=1-c
若an为等差数列，则有1-c=2
c=-1