Question

拉格朗日中值定理的定理意义

Answer 1

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

物理意义：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。法国数学家拉格朗日于1778年在其着作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理内容：

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。

证明：

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。

做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。

易证明此函数在该区间满足条件:

1.g(a)=g(b)=0；

2.g(x)在[a,b]连续；

3.g(x)在(a,b)可导。
此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证。

Answer 2

拉格朗日中值定理：   

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。 

 如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)   

 拉格朗日中值定理的几何意义 。  

在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。

理解——这个定理说的是什么  

1. 在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a))和(b,f(b))点的连线平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。

2. .我们将f(x)函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x2)的变化……。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f'(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f'(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【】。即所谓的必有一，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。[1] 编辑本段 其它形式      拉格朗日中值定理的几何意义 令f(x)为y，则该公式可写成 △y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)  上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。  f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))（b-a）,0<θ<1. f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h,0<θ<1. 编辑本段 定理内容   若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件： (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导  则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，或 使   公式  f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b 

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1. 证明:  把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)= a)}x. 做辅助函数      易证明此函数在该区间满足条件: 1.g(a)=g(b)=0; 2.g(x)在[a,b]连续; 3.g(x)在(a,b)可导. 此即罗尔定理

2.  几何意义 ：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

3.  物理意义 ：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

4. 推论 ：  如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。

5. 证明：f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a) ξ∈[a,b]  由于已知f'(ξ)=0，f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)  这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。

Answer 3

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
几何意义： 若连续曲线在 两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点 ，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

Answer 4

B(1/2,1/4)=2∫(sinx)^(2*1/4-1)*(conx)^(2*1/2-1); B函数p=1/2,q=1/4.
B(1/2,1/4)=P(1/2)*P(1/4)/P(3/4);P,B函数为欧拉函数。
P(1/2)=pi^1/2，关于P（1/4）还有点问题，pi=3.1415926.....
另外P(1/4)*P(3/4)=pi/sin1/4*pi B的积分范围是[0,pi/2]，
以上是定积分问题

此问题也可以化为求不定积分∫1/(1－t^4)^(-1/2)

Answer 5

∫ x^5.e^(-x) dx
=-∫ x^5.de^(-x)
=-x^5.e^(-x) +5∫ x^4.e^(-x)dx
=-x^5.e^(-x) -5∫ x^4.de^(-x)
=-x^5.e^(-x) -5x^4e^(-x) -20∫ x^3.de^(-x)
=-x^5.e^(-x) -5x^4e^(-x) -20x^3.e^(-x) -60∫ x^2.de^(-x)
=-x^5.e^(-x) -5x^4e^(-x) -20x^3.e^(-x) -60x^2de^(-x)-120∫ xde^(-x)
=-x^5.e^(-x) -5x^4e^(-x) -20x^3.e^(-x) -60x^2de^(-x)-120xe^(-x)+120∫ e^(-x)dx
=-x^5.e^(-x) -5x^4e^(-x) -20x^3.e^(-x) -60x^2de^(-x)-120xe^(-x)-120e^(-x) + C