Question

高一数学【面面垂直问题】

已知正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成的角的余弦值为_______.

【要解释。】

Answer 1

因为AD平行于BC，所以AD与BF所成角就是BC与BF所成角。连接CF。
作FG垂直AD。连接CG，并设正方形边长为a。
AD垂直AB，FA垂直AB，所以角FAD就是正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面所成的二面角。即角FAD=60度。所以，FG=√3*a/2
又因为：AB垂直AF和AD，所以AB垂直平面AFG，所以 AB垂直FG。
又：FG垂直AD，所以：FG垂直平面ABCD。推出：FG垂直CG，即三角形FGC是直角三角形。
在三角形GDC中，由于GD=a/2，CD=a，所以CG=√5*a/2。
在三角形FGC中：FG=√3*a/2，CG=√5*a/2，得：CF=√2*a。
正方形ABEF中：BF是对角线，所以BF=√2*a。
在三角形FCB中：CF=BF=√2*a，BC=a。由余弦定理，我们容易求得：cos(FBC)=√2 /4。即：异面直线AD与BF所成角的余弦值为√2 /4

Answer 2

AD//BC
所以AD与BF所成角就是角CBF
设边长为1，则BC=1,BE=1,
角CBE是二面角平面角，所以角CBE=60度，所以CE＝1
易知角CEF是直角，EF＝1，所以CF＝√2
BF=√2
cosCBF=(1/2)/√2＝√2/4