Question

两题高等数学定积分的题目，帮忙算一下，我算的纠结死了！

如图，第一题答案是1/3，第二题答案是2，怎么算啊？？

Answer 1

这明显是0/0型，用洛必达法则啊
lim (x^2,0)∫sint^2dt/x^6
洛必达法则
=lim 2xsinx^4/(6x^5)
等价无穷小代换
=lim 1/3*sinx^4/x^4=lim 1/3*x^4/x^4=1/3

lim [(0,x)∫e^(t^2)dt]^2/[(0,x)∫te^(2t^2)dt
洛必达法则
=lim 2(0,x)∫e^t^2dt*e^(x^2)/[xe^(2x^2)]
=lim 2(0,x)∫e^t^2dt/[xe^(x^2)]
还是0/0型，洛必达法则
=lim 2e^(x^2)/[e^(x^2)+2x^2e^(x^2)]=lim 2/[1+2x^2e^(x^2)]=2

Answer 2

上下两端都趋于0，直接同时求导就完事了。
第一题上面求导得2xsin(x^4),下面求导得6x^5,约分以后可以用等价无穷小，再约分就成2/6了，得结果1/3。
第二题上面求导得2（∫ exp(t^2)dt）exp(x^2)
下面求导得xexp(2x^2)
约分得2（∫ (expt^2)dt）/xexp(x^2)
上下均趋于0，可以再求导，上面求导得2exp(x^2),下面求导得2(x^2)exp(x^2)+exp(x^2)。
上面x趋于0的时候得2，下面x趋于0时2(x^2)exp(x^2)=0，exp(x^2)=1。所以答案是2/（0+1）=2