Question

有没有初等数论的复习题啊~~~

Answer 1

例1.设 ，求证： 。
证明：因为 ，故由 知 ，从而 ，但是 ，故由欧拉定理得： ， ，从而 ；同理， 。
于是， ，即 。
注明：现考虑整数 的幂 所成的数列： 若有正整数 使 ，则有 ，其中 ；
因而关于 ，数列 的项依次同余于 这个数列相继的 项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。如下例：
例2．试求不大于100，且使 成立的自然数 的和。
解：通过逐次计算，可求出 关于 的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：

因而通项为 的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：
3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………
类似地，经过计算可得 的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：
7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………
于是由上两式可知通项为 的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：
3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………
这就表明，当 时，当且仅当 时， ，即 ；
又由于数列的周期性，故当 时，满足要求的 只有三个，即

从而当 时，满足要求的 的和为：
.
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：
例3．求证：对于任意整数 ， 是一个整数。
证明：令 ，则只需证 是15的倍数即可。
由3，5是素数及Fetmat小定理得 ， ，则
；
而（3，5）=1，故 ，即 是15的倍数。所以 是整数。
例4．求证： （ 为任意整数）。
证明：令 ，则 ；
所以 含有因式
由Fetmat小定理，知13| 7|
又13，7，5，3，2两两互素，所以2730= 能整除 。
例5．设 是直角三角形的三边长。如果 是整数，求证： 可以被30整除。
证明：不妨设 是直角三角形的斜边长，则 。
若2 ，2 ，2 c，则 ，又因为 矛盾！
所以2| .
若3 ，3 ，3 c，因为 ，则 ，又 ，矛盾！从而3| .
若 5 ，5 ，5 c，因为 ， ，
所以 或0(mod5)与 矛盾！
从而5| .
又(2,3,5)=1，所以30| .
下面讲述中国剩余定理的应用
例6．证明：对于任意给定的正整数 ，均有连续 个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。
证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取 个互不相同的素数 ，而考虑同余组 ①
因为 显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。于是，连续 个数 分别被平方数 整除。
注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续 个正整数具有某种性质”的问题转化为“找 个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。
（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数 两两互素，故将①中的 转化为 后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。
例7．证明：对于任意给定的正整数 ，均有连续 个正整数，其中每一个都不是幂数。
分析：我们来证明，存在连续 个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幂数。
证明：取 个互不相同的素数 ，考虑同余组
因为 显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
对于 因为 ，故 ，但由①式可知 ，即 在 的标准分解中恰好出现一次，故 都不是幂数。
例8． 设 是给定的偶数， 且 是偶数。
证明：存在整数 使得 ，且 。
证明：我们先证明，当 为素数幂 时结论成立。实际上，能够证明，存在 使
且 ：
若 ，则条件表明 为偶数，此时可取 ；
若 ，则 与 中有一对满足要求。
一般情形下，设 是 的一个标准分解，上面已经证明，对每个 存在整数 使得 且 ，而由中国剩余定理，
同余式 ①有解 ，
同余式 ②有解 。
现不难验证解 符合问题中的要求：因 ，故 ，
于是 ，又由①②知 ，
故 。