Question

sin(1/x)有原函数，所以可积对吗？

如果对，那积分存在的充分条件是连续或者有限个第一类间断点，这个函数是第二类间断点，应该不可积吧？
如果不对，那把牛顿莱布尼茨所理解为有原函数必可积难道是错的？

Answer 1

证明这个函数的在整个定义域内连续，可导，可积省略。下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞，下限为0）因为sint/t不存在初等函数的原函数，所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分。 I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞，下限为0）显然： I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0） I`(x)=∫?（e^(-xt)sint/t)/?x dt (积分上限为∞，下限为0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞，下限为0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞，下限为0） =-1/(1+x^2) 从而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数，上限为∞，下限为0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 对（1）式两端取极限： lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞) =-π/2+C 即有0=-π/2+C，可得C=π/2 于是（1）式为 I(x）=-arctan(x)+π/2 limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）=π/2 因为sinx/x是偶函数，所以 ∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为-∞） =π 这个地方些数学公式很是不方便的。另外也可以用复变函数来求解的。如果有不懂的地方问我。

追问

这个一长串，似乎没说清楚我问的问题？还是不懂