定积分题目
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约定:∫[a,b] 表示求[a,b]区间上的定积分。
∫[0,π](3^cosx-3^(-cosx))dx 设x=t+π/2
=∫[-π/2,π/2](3^cos(t+π/2)-3^(-cos(t+π/2)))d(t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](3^(-sint)-3^sint)dt
设f(t)=3^(-sint)-3^sint
f(-t)=3^(-sin(-t))-3^sin(-t)
=3^sint-3^(-sint)
=-f(t)
得f(t)是奇函数
所以 ∫[0,π](3^cosx-3^(-cosx))dx
=∫[-π/2,π/2]f(t)dx
=0
∫[0,π](3^cosx-3^(-cosx))dx 设x=t+π/2
=∫[-π/2,π/2](3^cos(t+π/2)-3^(-cos(t+π/2)))d(t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](3^(-sint)-3^sint)dt
设f(t)=3^(-sint)-3^sint
f(-t)=3^(-sin(-t))-3^sin(-t)
=3^sint-3^(-sint)
=-f(t)
得f(t)是奇函数
所以 ∫[0,π](3^cosx-3^(-cosx))dx
=∫[-π/2,π/2]f(t)dx
=0
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