Question

第四题 高等数学

Answer 1

证明：
由题意可知:
a>0
x(n)>0
其中，n表示下标
从循环体可以看出：随着n的增加，x(n)中会增加一个关于a的根号，而√a>0，因此显然：
x(n+1)>x(n)
又∵
x(n+1) =√[a+x(n)]
因此：
√[a+x(n)] > x(n)
即：
a+x(n) > x(n)²
于是：
x(n)² - x(n) -a <0
上式可分解成：
{x(n)- [1+√(1+4a)]/2} {x(n)- [1-√(1+4a)]/2} < 0
{x(n)- [1+√(1+4a)]/2} {x(n)+ [-1+√(1+4a)]/2} < 0
显然：√(1+4a) -1 >0
因此：
x(n)+ [-1+√(1+4a)]/2 > 0
若要 a+x(n) > x(n)²成立，只能是：
x(n)- [1+√(1+4a)]/2 <0
即：
x(n) < [1+√(1+4a)]/2
在数列{x(n)}中：
i)x(n+1)>x(n)，即数列{x(n)}单调递增；
ii)x(n) < [1+√(1+4a)]/2，即当n→∞时，数列{x(n)}有界
根据数列单调递增有上界必收敛可知，数列{x(n)}存在极限！

令：lim(n→∞) x(n) =A，
对x(n+1) =√[a+x(n)]左右取极限，则：
A=√(a+A)
解得：
A=[1+√(1+4a)]/2，其中[1-√(1+4a)]/2 < 0，根据极限保号性，舍去！
因此：
lim(n→∞) x(n) = [1+√(1+4a)]/2

Answer 2

这类题就是证明数列收敛有界故极限存在，可证2数列都是单调有界，
不过前1题要分a>C，a<C，a=C考虑所以要用到反证法，先求极限C。
至于极限可不妨设为C，则C=√（a+C）>0，可解得C=（1+√（4a+1））/2
后一个由C=1+C/（1+C）>1，C=（1+√5）/2