Question

求一道高二数学不等式问题 不太简单也不能太难 谢谢

Answer 1

已知a b c属于正数
求证:(1) a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2大于等于abc(a+b+c)
(2) (b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c大于等于3
(3) lg[(a+b)/2]+lg[(b+c)/2]+lg[(c+a)/2]大于等于lga+lgb+lgc

答案：（1）
利用公式：x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz
a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2
= (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2
>= ab*bc + ab*ac + bc*ac
= abc(a + b + c)

（2）
利用公式：x + y >= 2√(xy)
(b+c-a)/a + (c+a-b)/b + (a+b-c)/c
= b/a + c/a + c/b + a/b + a/c + b/c - 3
= (b/a + a/b) + (c/a + a/c) + (c/b + b/c) - 3
>= 2 + 2 + 2 - 3
= 3

（3）
利用公式：x + y >= 2√(xy)
(a+b)/2 >= √(ab)
所以：
lg[(a+b)/2] >= lg [ √(ab) ]
= ( lga + lgb ) / 2
同理：
lg[(b+c)/2] >= ( lgb + lgc ) / 2
lg[(c+a)/2] >= ( lga + lgc ) / 2
三式相加，得：
lg[(a+b)/2] + lg[(b+c)/2] + lg[(c+a)/2] >= lga + lgb + lgc