Question

什么是公理？

Answer 1

“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。

在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。

确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。

传统的做法在《几何原本》中很好地描绘了出来，其中给定一些公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），以及一些“公理”（极基本、不证自明的断言）。

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当数学家使用体的公理时，其含义甚至变得更加地抽象了。体论的命题没有关注于任一特定的应用上；数学家现在于完全的抽象化上工作著。体有许多的例子；而体论可以给出对所有这些例子适用的正确知识。

说体论的公理是“被视为不证自明的命题”是不正确的。实际上，体的公理是一套局限。若任一给定的加法与乘法系统符合此些局限，则我们对此系统立即可以得到许多额外的资讯。

现代数学家也对数学基础作了相当程度的形式化，从而使得数学理论可以被视为数学物件，且逻辑本身亦能被视为是数学的一个分支。戈特洛布·弗雷格、伯特兰·罗素、庞加莱、大卫·希尔伯特和库尔特·哥德尔是此发展中的几位关键角色。

在理解里，一套公理是任何一群形式陈述的断言，而透过应用某些定义良好的规则，可由这些公理推导出其他形式陈述的断言。

在此观点下，逻辑只是变成了另一个形式系统。一套公理应该是相容的，即应该不可能由此公理中导出矛盾来。一套公理亦应该是非冗余的，即一个可以由其他公理导的断言不应被视为是一个公理。

参考资料来源：百度百科-公理

Answer 2

公理是依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。
公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明。
然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同。
古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。

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公理化的实现就是：
①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；
②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。
由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。
第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。
例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。

Answer 3

公理”：是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识并作为判定其他命题真假的根据。公理是大家公认的规律，它是从长期实践总结出来的，其正确性是非常明显的，无法也不能证明，如“ 两直线相交，对顶角相等”，这就是一个公理。公理是判断其他命题正确性的依据。

Answer 4

公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。
在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。
公理定义：简单、公平、一目了然了用不着去证明的、大家都公认可的理论。