Question

差分方程求解

差分方程求解特解是怎么设的啊，再问下类似的，第二张图中的二阶微分求解，如果非齐次项是两个类型相乘，怎么设特解呢？

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Answer 1

上述微分方程的重点应该首先集中在其次方程的解——通解上。

思路：解微分方程的步骤为：

1、首先确定其次方程的通解

2、确定非齐次方程的特解

其中通解为最难求的部分，因为他是一个多值函数的解，而特解就是一个固定的值。

例子：对于按上述过程解方程方程

sin(x)=1/2

首先化为齐次方程sin(x)=0；解得通解x=kπ，k=整数（齐次方程就是等号右边化为零）

然后特解应该等于多少呢，我们知道，其实随便带入一个具体的特解x的具体值就好。

       你可以带入x=π/6或x=7π/6等等数值，其实是随心所欲的。然后通解加上特解就是具的解了！

总结：上图的方法仅仅告诉你如何快速的求解这个数值的，主要应该集中精力在对通解的求解上面，特解根据通解的形式可以猜测具体数值的。也可以通过上面的所谓的总结来直接套用公式。

ps：如果还是不是很理解的话，可以看看高等数学里面关于齐次微分方程的解的形式，你会发现它与所谓的通解的公式有很大的相似性。理解了齐次方程的解的形式，再来看所谓通解的规律就很清楚了。

呃，如果你是考研的同学，问题应该是第二幅图，请先看高数的齐次微分方程部分；如果是高考同学的话，问题在第一幅图，其实直接理解为数列的求解就好，不需要考虑这么多的。

追问

但是如果非齐次项比较复杂就不容易直接看出来啊，那像这种是两个公式组合起来的非齐次项怎么设特解啊？

追答

直接背公式法吧，当然其实都有一定的套路的。
一般都是保留其指数/多项式/正弦形式，然后乘以(ax+b)之类的就好，当然特殊情况特对待，上面的图片应该多有说明的。基本还是基于齐次方程的解的形式来假设。
基本上就是上面的图片二的总结的几种情况了，就是多项式、指数形式、正弦函数等几种情况组合，按照公式上对照就好了，解法其实就和积分差不多，再复杂的我还没有见到。