Question

设二次函数f(X)=ax^2+bx+c(a,b,c属于R，a不等于0）满足条件

当x属于R时，f(x-4)=f(2-x)且f(x)>=x；
当x属于（0，2），f(x)<=(x+1/2)^2;
1.求f(1)的值
2.求f(X)的解析式
3.求最大的m(m>1）的值，使得存在t属于R，只要x属于[1，m]，就有f(x+t)<=x

Answer 1

f(x-4)=f(2-x)：意思是此函数的对称轴为直线x=－1，∴2a=b。当x属于R时，f(x)≥x(应该还有恒成立吧？)，代入化简有：ax^2+(b－1)x+c≥0恒成立，则有(b－1)^2－4ac≤0恒成立，另外，既然当x属于R时，f(x)≥x恒成立，那必定有f(1)≥1，结合第二个条件中，令x=1，可以得到f(1)≤1，所以f(1)=1。可以得到a＋b＋c=1，且2a=b，得出c=1－3a。代入不等式(b－1)^2－4ac≤0，化简后有：16a^2－8a＋1≤0恒成立，也即(4a－1)^2≤0恒成立，所以a=1/4。从而b=1/2，c=1/4。
3、(此题中的“只要x属于[1，m]”应该理解为“对所有的x属于[1，m]”……恒成立)。。解得f(x)=(1/4)×(x＋1)^2。f(x+t)≤x→x^2＋2(t－1)x＋(t＋1)^2≤0。。。(这个可以看成是关于x的不等式在区间[1，m]上恒成立问题)。但也可以看成是关于t的一元二次不等式，既然是“存在t属于R”，那就是这个关于t的不等式要有解。 写写有点烦，要不你自己试试看？

Answer 2

BUZHIDAO