Question

高二椭圆数学题。

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左焦点F,右顶点A,动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点）,FM交椭圆C于P，已知椭圆C的离心率为2/3，点M的横坐标为9/2。（1）求椭圆标准方程（略过，答案是x^2/9+y^2/5=1）；（2）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1·k2的取值范围

Answer 1

(2设P（x0，y0），A（3，0），M（9/2，yM）
过点P做PB垂直于AF，设右准线与与x轴的交点为N，则PB：MN=FB：FN
即y0/yM=（x0+2）/（9/2+2）
即yM=（13y0/2）/（x0+2）
k1=y0/（x0-3），k2=yM/（9/2-3）
k1·k2=y0/（x0-3）*yM/（9/2-3）
=2y0yM/[3（x0-3）]
=13y0*y0/[3（x0-3）（x0+2）]
x0^2/9+y0^2/5=1，y0^2=5/9（9-x0^2）
k1·k2=（65/27）*（9-x0^2）/[（x0-3）（x0+2）]
=-（65/27）*（x0+3）/（x0+2）
=-（65/27）*[1+1/（x0+2）]
FM交椭圆C于P，-2<x0<3
0<x0+2<5,1/（x0+2）>1/5,1+1/（x0+2）>6/5
-（65/27）*[1+1/（x0+2）]<-26/9
k1·k2<-26/9

Answer 2

设P(x1,y1)(-2<x1<3) M(9/2,y0)
因为F,P,M三点共线
所以y1/(x1+2)=y2/(13/2)
所以y2=13y1/(2(x1+2))
所以M（9/2,13y1/(2(x1+2))
因为k1=y1/(x1-3) k2=13y1/(3(x1+2))
所以k1*k2=13y1^2/2(x1+2)(x1-3)
因为P在椭圆C上
所以x1^2/9+y1^2/5=1
所以y1^2=-5/9(x1^2-9)
所以k1*k2=-65/27*(x1+3)/(x1+2)=-65/27*(1+1/(x1+2))
因为-2<x1<3
所以k1*k2<-26/9

Answer 3

我假设P(3cost,根5sint) -90度小于t小于90度，t为参数。最后算出的答案是(-26根5/45,-13根5/18) 不知道对不对。